Гипотеза Пуанкаре:
Рассмотрим, что означает эта формулировка с некоторыми упрощениями.
Ссылки:
Топология
Гипотеза Пуанкаре относится к топологии. Топология изучает свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при их различных преобразованиях и деформациях.
Одно из таких преобразований - гомеоморфизм - непрерывная деформация без разрывов и склеивания, наподобие тому, как можно менять форму пластилиновой фигурки. Таким преобразованием является деформирование куба в шар или чашку (плошку) без ручки, но не в бублик или чашку с ручкой.
Односвязность означает, что, накинув петлю на фигуру любым способом, можно эту петлю стянуть в точку, причем она всегда должна оставаться строго на поверхности фигуры. Например, это верно для шара, но не верно для тора (бублика).
Многообразия и размерности
Многообразие можно представить, как однородное и "плотное" (не "рыхлое") множество точек в пространстве, без края (напрмер, внутренность шара, исключая его край - сферу).
Двумерный случай
Допустим, требуется исследовать свойства поверхности трехмерной фигуры. С одной стороны, такая поверхность - множетсво точек в трехмерном пространстве.
Однако, чтобы сделать рассуждения проще, мы можем перейти к эквивалентному представлению поверхности трехмерной фигуры, как двумерной фигуры, у которой некоторые краевые точки отождествлены.
Пример:
Итак, в топологии двумерным многообразием называют плоску фигуру с отождествлением некоторых краевых точек, которая описывает поверхность некоторого трехмерного тела, например:
Трехмерный случай
Точно также, трехмерное многообразие - это трехмерная фигура, у которой некоторые краевые точки отождествлены. Это - поверхность некоторой четырехмерной фигуры.
Таким образом, можно исследовать свойства поверхности четырехмерной фигуры, понизив размерность и рассматривая трехмерную. Это проще для понимания и выкладок.
Трехмерный тор
Трехмерный куб, у которого противоположные грани отождествлены - это поверхность четырехмерного тора, аналогично примеру для двумерного случая.
Трехмерная сфера
Трехмерная сфера - шар в трехмерном пространстве, у которого все краевые точки отождествлены в одну. Он представляет собой поверхность четырехмерного шара.
Так же, как стянув в трехмерном пространстве край двумерного круга (это окружность) в точку, можно натянуть его на трехмерный шар, стянув край трехмерного шара (это сфера) в точку в четырехмерном пространстве, можно натянуть трехмерный шар на четырехмерный.
Трехмерное пространство
Все трехмерное пространство тоже может быть многообразием.
Если бы вы были (трехмерным) жителем поверхности четырехмерной сферы, то вблизи мир представлялся бы вам как трехмерное пространство, причем продолжив движение в одну сторону, вы бы когда-нибудь вернулись бы в исходную точку, аналогично двумерному жителю, ползающему по глобусу.
Гипотеза Пуанкаре
Итак, компакное трехмерное многообразие - это поверхность некоторой четырехмерной фигуры, представленная как трехмерная фигура плюс отождествление некоторых ее краевых точек.
Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерной сферы, представленная как трехмерный шар, у которого все краевые точки отождествленны в одну.
Таким образом, гипотеза гласит, что
Другими словами,
Обобщенная гипотеза Пуанкаре
Обобщенный вариант распрастраняет формулировку на пространства остальных размерностей. Доказательство для n = 2 было известно еще Пуанкаре. Для n > 3 доказательства были найдены за последние 100 лет, но для n = 3 удалось лишь сейчас.
Гипотеза Уильяма Терстона
Г. Я. Перельман доказал гипотезу Терстона, в которой предложена классификация всех возможных замкнутых трёхмерных многообразий. Ее частным следствием является справедливость гипотезы Пуанкаре.
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.
Рассмотрим, что означает эта формулировка с некоторыми упрощениями.
Ссылки:
- Доступное объяснение, что такое многообразия и топология: http://www.astronet.ru/db/msg/1195055
- Григорий Перельман и проблема Пуанкаре: http://main.isuct.ru/files/dept/mat/perelman.pdf
- О "проблеме Пуанкаре": http://www.urbanian.ru/showcuts.php?blogmessageid=urbanian07103010203924
- Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре: http://offline.computerra.ru/2006/621/247630/
Топология
Гипотеза Пуанкаре относится к топологии. Топология изучает свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при их различных преобразованиях и деформациях.
Одно из таких преобразований - гомеоморфизм - непрерывная деформация без разрывов и склеивания, наподобие тому, как можно менять форму пластилиновой фигурки. Таким преобразованием является деформирование куба в шар или чашку (плошку) без ручки, но не в бублик или чашку с ручкой.
Односвязность означает, что, накинув петлю на фигуру любым способом, можно эту петлю стянуть в точку, причем она всегда должна оставаться строго на поверхности фигуры. Например, это верно для шара, но не верно для тора (бублика).
Наглядные объяснения есть по последним трем приведенным ссылкам.
Многообразия и размерности
Многообразие можно представить, как однородное и "плотное" (не "рыхлое") множество точек в пространстве, без края (напрмер, внутренность шара, исключая его край - сферу).
Двумерный случай
Допустим, требуется исследовать свойства поверхности трехмерной фигуры. С одной стороны, такая поверхность - множетсво точек в трехмерном пространстве.
Однако, чтобы сделать рассуждения проще, мы можем перейти к эквивалентному представлению поверхности трехмерной фигуры, как двумерной фигуры, у которой некоторые краевые точки отождествлены.
Пример:
Поверхность трехмерного тора (бублика) можно представить как двумерный квадрат, у которого отождествлены противоположные стороны.
Это означает, что в трехмерном пространстве этот квадрат изогнут так, что противоположные стороны соединены: сначала соединим две из них, получая цилиндр, потом изогнем этот целиндр, склеивая два основания.
Двумерному жителю поверхности тора мир будет представляться как бесконечная замкнутая гладкая полоскость, причем, продолжая движение в одну сторону, он вскоре вернется в исходную точку.
Итак, в топологии двумерным многообразием называют плоску фигуру с отождествлением некоторых краевых точек, которая описывает поверхность некоторого трехмерного тела, например:
- Квадрат с отождествленными противоположными сторонами - поверхность тора.
- Круг, у которого все точки края отождествлены в одну, то есть "стянуты" в одну в трехмерном пространстве. Это поверхность шара - можно представить себе круглый кусок ткани, который натянули на мяч и стянули край в одну точку.
Трехмерный случай
Точно также, трехмерное многообразие - это трехмерная фигура, у которой некоторые краевые точки отождествлены. Это - поверхность некоторой четырехмерной фигуры.
Таким образом, можно исследовать свойства поверхности четырехмерной фигуры, понизив размерность и рассматривая трехмерную. Это проще для понимания и выкладок.
Трехмерный тор
Трехмерный куб, у которого противоположные грани отождествлены - это поверхность четырехмерного тора, аналогично примеру для двумерного случая.
Трехмерная сфера
Трехмерная сфера - шар в трехмерном пространстве, у которого все краевые точки отождествлены в одну. Он представляет собой поверхность четырехмерного шара.
Так же, как стянув в трехмерном пространстве край двумерного круга (это окружность) в точку, можно натянуть его на трехмерный шар, стянув край трехмерного шара (это сфера) в точку в четырехмерном пространстве, можно натянуть трехмерный шар на четырехмерный.
Трехмерное пространство
Все трехмерное пространство тоже может быть многообразием.
Если бы вы были (трехмерным) жителем поверхности четырехмерной сферы, то вблизи мир представлялся бы вам как трехмерное пространство, причем продолжив движение в одну сторону, вы бы когда-нибудь вернулись бы в исходную точку, аналогично двумерному жителю, ползающему по глобусу.
Наглядные объяснения по поводу таких построений приводятся по первой ссылке (http://www.astronet.ru/db/msg/1195055).
Гипотеза Пуанкаре
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.
Итак, компакное трехмерное многообразие - это поверхность некоторой четырехмерной фигуры, представленная как трехмерная фигура плюс отождествление некоторых ее краевых точек.
Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерной сферы, представленная как трехмерный шар, у которого все краевые точки отождествленны в одну.
Таким образом, гипотеза гласит, что
Любую односвязную трехмерную фигуру (с некоторым отождествлением краевых точек) непрерывной деформацией без разрывов и склеивания можно преобразовать в сферу, у которой заодно все краевые точки окажутся отождествлены в одну.
Другими словами,
Любую односвязаную поверхность четырехмерной фигуры можно указанной деформацией преобразовать в поверхность четрыехмерной сферы.
Обобщенная гипотеза Пуанкаре
Обобщенный вариант распрастраняет формулировку на пространства остальных размерностей. Доказательство для n = 2 было известно еще Пуанкаре. Для n > 3 доказательства были найдены за последние 100 лет, но для n = 3 удалось лишь сейчас.
Гипотеза Уильяма Терстона
Г. Я. Перельман доказал гипотезу Терстона, в которой предложена классификация всех возможных замкнутых трёхмерных многообразий. Ее частным следствием является справедливость гипотезы Пуанкаре.
